La Ciencia, la Astrologia, la Geografia y la magia que desprenden

Hiparco es el primer héroe de nuestra historia. ¡Pero no hay que tomar muy en serio lo que dijo! Él afirma ser el fundador de la geografía y de la astronomía. Esto es exagerar un poco. ¿Quién puede jactarse de esta manera? ¿Acaso los viajeros jamás han descrito sus viajes, o los pastores nunca admirado las estrellas? Es raro que un solo individuo haya podido crear una ciencia... Pero poco importa, rindamos honores a Hiparco, uno de los grandes sabios de la Antigüedad.

Se conocen muy poco sobre la vida de Hiparco. Nació alrededor de 190 A.C.  Y murió hacia el año 120 A.C. Se puede consultar este artículo para obtener una descripción corta de su vida o bien éste, si se quiere una biografía más completa. De cualquier manera, no hay duda de que este sabio fue uno de los primeros en elaborar un catálogo de estrellas y en medir, con precisión sorprendente, la posición de éstas sobre una esfera celeste. La comunidad de astrónomos le rinde homenaje bautizando con su nombre un cráter de la Luna. Tintin, estuvo en este cráter durante Aterrizaje en la Luna. Citando textualmente a Hergé: "le cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clowns, donc vous ne pouvez pas faire l'affaire..." ("El circo de Hiparco no necesita de payasos, así que ustedes no sirven absolutamente para nada.

El segundo papel en este capítulo es interpretado por Ptolomeo, quién vivió tres siglos después, entre los años 85 y 135 A.C.  También gran astrónomo y geógrafo, Ptolomeo se inspiró con los trabajos de Hiparco, sin embargo los historiadores no parecen ponerse de acuerdo sobre la importancia de esta influencia. ¿Es acaso Ptolomeo un continuador de la obra de Hiparco? Difícil pregunta, mejor la dejamos en manos de especialistas.

Una biografía general puede consultarse aquí, y para una con más detalles, se puede consultar este sitio.Despreocúpese, ¡Ptolomeo también tiene su cráter en la Luna!

¿Qué nos enseñan Hiparco y Ptolomeo en este primer capítulo? La idea de lo que hoy llamamos sistema de coordenadas.

La Tierra es redonda. Esto se sabe desde hace mucho e, incluso antes de haberle dado la vuelta,  algunos ingeniosos geómetras griegos ya habían encontraron la manera de calcular su circunferencia sin equivocarse por mucho.

La Tierra completa un giro al día alrededor de un eje que conecta dos puntos llamados polos norte y sur. Igualmente, el planeta completa un giro al año alrededor del Sol, pero ni Hiparco ni Ptolomeo sabían esto, puesto que pensaban que, al contrario, era el Sol quién giraba alrededor la Tierra... Hubo que esperar hasta Copérnico...en el siglo XVI, para comenzar a descubrir que era de hecho la Tierra la que giraba alrededor del Sol.

Determinar precisamente la forma de la Tierra tomó todavía más tiempo. ¡No es sino hasta hace algunas décadas que se conocen sus dimensiones con un error de precisión de algunos centímetros! Y la forma de la Tierra no difiere mucho de una esfera: es cierto que es un poco más chata en los polos, pero el radio polar (6 356 km) y el radio ecuatorial (6 378 km) no difieren por mucho. Visite esta  esta página (en inglés) para saber más al respecto.

Hiparco nos invita a suponer que la Tierra es exactamente una esfera y nos explica entonces las bases de la geometría esférica. Por definición, una esfera es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Una recta que pasa por el centro de una esfera la intersecta en dos puntos: a ésta se le llama eje de simetría de la esfera.  Si escogimos una recta de este tipo, podemos pensar que se trata del eje de rotación de la Tierra, y que los dos puntos de intersección son los polos norte y sur.

Un plano que pasa por el centro de una esfera la corta en un círculo llamado gran círculo y éste separa a la esfera en dos hemisferios. En el caso particular de que el plano que pasa por el centro de la esfera sea perpendicular al eje que escogimos, se le llama a éste plano del ecuador, y los hemisferios correspondientes son llamados austral (al Sur) y boreal (al Norte).  Un plano que contenga al eje de simetría corta a la esfera en un gran círculo que pasa por los polos.  Estos círculos están constituidos por dos semicírculos que conectan a los polos: a estos se les llama meridianos. Con excepción de los polos, todo punto sobre la Tierra está situado sobre un solo meridiano. Puesto que supusimos que la Tierra era una esfera, todos los meridianos miden lo mismo: la distancia que hay que recorrer sobre la Tierra si se quiere viajar del polo Norte al polo Sur, es decir, 20 000 km (aproximadamente).

Entre todos los meridianos que hay sobre la Tierra hay uno que sirve de origen: se trata del que pasa por el observatorio de Greenwich en Inglaterra. Sin embargo, bien se habría podido tomar otro (a los franceses, por ejemplo, ¡Bien les hubiera gustado el que pasa por París!) El resto de los meridianos son descritos por un ángulo (ilustrado en la figura abajo) llamado la longitud del meridiano. La tradición geográfica solicita que dicho ángulo tome valores entre 0 y 180 grados, bien sea al este o al oeste del meridiano de Greenwich.


Los planos perpendiculares al eje de rotación cortan a la esfera en círculos llamados paralelos.  Se les llama así quizás porque no se intersectan unas a otras, como rectas paralelas... Los paralelos, entre más cerca estén de los polos, más cortos son. El ecuador es un paralelo particular, a medio camino entre dos polos, es el más largo de todos. El resto de los paralelos pueden estar bien sea al norte o al sur del ecuador, y están descritos por un ángulo, que en la figura aparece en color verde: se trata de la latitud.

Sin embargo, ¡Vivir sobre la superficie de la Tierra no es más que una primera aproximación! Puede ser que tomemos un avión, por ejemplo...entonces, los dos números correspondientes a la longitud y la latitud no son suficientes para especificar nuestra posición. Se necesita decir también a qué altura uno se encuentra. Se necesitan entonces tres números para especificar nuestra posición en el espacio. Por eso se dice que el espacio es de dimensión 3.Regresaremos a esto más tarde...

Cada punto de la Tierra, a excepción de los polos, está situado en la intersección de un paralelo con un meridiano, y, de esta manera, puede atribuírsele una latitud y una longitud: éstas son las coordenadas geográficas del punto. Recíprocamente, dada una latitud y una longitud, se puede encontrar el punto...

La cuestión importante a recordar aquí es que para describir un punto sobre la superficie de la tierra, se necesitan dos números, y que es por esta razón que se dice que la Tierra es de dimensión 2. De hecho, para un matemático, una superficie es un objeto de  dimensión 2; puede tratarse de la superficie de la Tierra, pero también el plano de una mesa o la superficie de un balón de rugby.

En la segunda parte de este capítulo, Hiparco nos explica una de las grandes ideas matemáticas, lo que se denomina una proyección. La Tierra es redonda pero nos encantaría representarla sobre un plano, sobre una hoja de papel por ejemplo, para así poder hacer un mapa que podríamos incluir en un atlas.

Existen muchos métodos para cartografiar la Tierra. El principio general consiste en escoger una zona de la Tierra y de asociarle a cada punto p  en ella un punto F(p) en el plano.  De esta manera, se representa la zona en cuestión en una parte del plano. En la selección de la representación  F  yace el arte del cartógrafo que intenta privilegiar una u otra característica. Lo ideal sería que el mapa fuera isométrico, es decir, que se pudiera medir la distancia entre dos puntos p,q midiendo la distancia entre sus representaciones F(p) y F(q). Desgraciadamente, esos mapas ideales no existen y hay que hacer compromisos. Por ejemplo, ciertos mapas intentan representar fielmente las áreas.  La cartografía es una ciencia apasionante, con larga historia,  frecuentemente paralela a la de las matemáticas, y que ha logrado progresos considerables recientemente, en parte debido a mediciones más precisas y a la informática. Véanse por ejemplo estos dos sitios, mismos que pueden servir como punto de partida para el estudio de esta ciencia. 

El mapa que nos presenta Hiparco porta un nombre sabio: la proyección estereográfica.  Hay que admitir que ésta no sirve mucho en los atlas de hoy en día, salvo quizás a la hora de representar las zonas polares. Sin embargo veremos poco a poco en la película que esta proyección tiene un interés matemático considerable y que es bastante útil.

Su definición es simple. Consideremos el plano tangente P a la Tierra en el polo Sur. Para cada punto p de la esfera distinto del polo Norte, podemos trazar la recta pn que une p al polo Norte. Esta recta intersecta el plano tangente P en el punto F(p). La proyección estereográfica es entonces una representación de la esfera privada del polo Norte sobre el plano P.

¿Quién inventó esta proyección? Aún otro debate histórico complicado...
Algunos mencionan a Hiparco, otros a Ptolomeo, incluso hay quienes afirman que de hecho fue Hiparco el que inventó esta proyección, pero sin conocer sus propiedades. 

Esta proyección posee tres propiedades esenciales, fuertemente interconectadas.

La primera, ampliamente ilustrada en la película, es que la proyección transforma un  círculo trazado sobre la esfera en un  círculo o recta del plano. Si usted tiene la paciencia de esperar al último capítulo, entenderá porqué.

Para demostrarlo, Hiparco se divierte haciendo rodar la Tierra sobre el plano tangente al polo Sur. Ahora, ya no es el sur el que está en contacto con el plano y no es a partir del polo Norte desde donde proyectamos, sino que proyectamos continuamente, siempre desde el punto "más alto" sobre el plano tangente al punto "más bajo". Una rotación hipotética y poco razonable, pero que sin duda da lugar a lindas proyecciones.

Seleccione la imagen a la izquierda para ver una animación

La segunda, que no está ilustrada en la película, es que la proyección respeta los
ángulos. Esto quiere decir que si se toman dos curvas sobre la esfera que se intersectan en un punto con cierto ángulo, las proyecciones correspondientes se interceptarán definiendo el mismo ángulo. Vemos sobre la imagen a la izquierda que las proyecciones de los meridianos y los paralelos se intersectan en un ángulo recto, como se intersectan en un ángulo recto sobre la esfera. Bastante práctico para un navegante que calcula su ruta y al que bien le gustaría que los ángulos que mide reaparezcan exactamente sobre su mapa.

La tercera, es que, si bien la proyección no alcanza el ideal de preservar las distancias, lo intenta de la mejor manera posible. Tomemos un punto p sobre la esfera y consideremos una región pequeñita R alrededor de p. La proyección estereográfica transforma la región R en una región F(R) alrededor del punto F(p). Resulta que, cuanto más pequeñita sea la región R, más respeta F la forma de R. Esto significa lo siguiente: existe una constante k, que puede llamársele la escala del mapa en R, tal que si q1 y q2 son dos puntos en R, el cociente entre las distancias entre q1 y q2 (en la esfera) y F(q1) y F(q2) sobre el plano, es casi igual a k.  ¿Qué quiere decir "casi"? Que este cociente esta más cerca de k cuando R se vuelve más pequeño. Más allá de la formulación matemática precisa, esto quiere decir que el mapa obtenido por la proyección respeta las zonas pequeñas. Es por ello que decimos que es conforme. Es la principal característica de la  proyección estereográfica: ¡Casi perfecta para un usuario que sólo la empleara en un pequeño vecindario de sí mismo!

Después de este primer viaje, retengamos la lección de Hiparco: la esfera es de dimensión 2 pues sus puntos se describen con dos coordenadas, latitud y longitud, y es bastante práctico representarla en un plano gracias a la proyección estereográfica...

¡Todo esto nos será muy útil para explorar la tercera dimensión y luego la cuarta!